Hướng dẫn bạn cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 và giải toán các phương trình bậc 2

Vận dụng định lý Vi-et để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai là một kĩ năng cần đạt đối với các bạn học sinh lớp 101. Trong nhiều trường hợp, thậm chí với hệ số chứa căn hay tham số, nếu biết nhẩm nghiệm thì học sinh sẽ nhanh chóng tìm được nghiệm mà không cần phải nháp hay sử dụng máy tính. Tuy nhiên, trong SGK Đại số 10 thì mục này chỉ được giới thiệu sơ lược và không có nhiều bài tập vận dụng cho việc tính nhẩm. Đó là lí do bài viết này ra đời.

Hướng dẫn cách tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2

Bạn có thể học lý thuyết để hiểu nguyên lý và cùng thực hành cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 qua hướng dẫn dưới đây:

1. Phương pháp để chọn cách tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2

Cơ sở tính nhẩm xuất phát từ định lí Vi-ét quen thuộc sau:2

READ:  Dàn ý tả cảnh đẹp nơi em ở vào một mùa trong năm

Định lí Vi-ét

Định lý gồm 2 phần, thuận và đảo:

* Nếu phương trình trình ax^2 + bx + c = 0\ (a\ne 0) có hai nghiệm x_1, x_2 thì

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}; x_1 x_2 = \frac{c}{a}

* Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u+v=S và tích uv=P thì u và v là các nghiệm của phương trình

x^2 - Sx + P = 0

2. Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 có tham số

Từ phần đảo, dễ dàng suy ra các kết quả sau.

LOẠI 1: A = 1, B = TỔNG, C = TÍCH

* Nếu phương trình có dạng x^2 - (u+v)x + uv = 0 thì phương trình đó có hai nhiệm u và v.

* Nếu phương trình có dạng x^2 + (u+v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm -u và -v

Nếu a bằng 1, b là tổng hai số và c là tích hai số đó thì phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm

Nếu a bằng 1, -b là tổng hai số và c là tích hai số đó thì phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm

Tóm lại:

x^2 - (u+v)x + uv = 0\Rightarrow x_1 = u, x_2 = v\ (1)

x^2 + (u+v)x + uv = 0\Rightarrow x_1 = -u, x_2 = -v

Như vậy, với loại này bạn cần thực hiện 2 phép nhẩm: “Phân tích hệ số c thành tích và b thành tổng”. Trong hai phép nhẩm đó, bạn nên nhẩm hệ số c trước rồi kết hợp với b để tìm ra hai số thỏa mãn tích bằng c và tổng bằng b.

Khi tiến hành, bạn nhẩm trong đầu như sau:

Tích của hai nghiệm bằng c, mà tổng lại bằng b

Ví dụ phương trình

x^2 - 5x + 6 = 0

Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2.3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm x=2,x=3

x^2 - 7x + 10 = 0

Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2.5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x=2,x=5

LOẠI 2: A + B + C = 0 VÀ A – B + C = 0

* Nếu thay v=1 vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc a + b + c = 0, với a=1, b=-(u+1), c=u.

READ:  Giải bài 3 trang 149, 150 SGK Toán 5

* Nếu thay v=-1 vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm a - b + c = 0, với a=1, b=-(u-1), c=-u.

Do loại này đã quá quen thuộc với bạn, nên bài viết không xét các ví dụ cho trường hợp này mà tập trung vào loại 1 và loại 3.

cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 a+b+c=0

LOẠI 3: HAI NGHIỆM LÀ NGHỊCH ĐẢO CỦA NHAU

Nếu u\ne 0 và v=\frac{1}{u} thì phương trình (1) có dạng

x^2 - (u+\frac{1}{u})x + u.\frac{1}{u} = 0\Leftrightarrow u.x^2 - (u^2 + 1)x + u = 0

khi đó phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau x=u,x=\frac{1}{u}. Đây cũng là trường hợp hay gặp khi giải toán. Ví dụ phương trình

2x^2 - 5x + 2 = 0 có hai nghiệm x=2,x=\frac{1}{2}

3x^2 - 10x + 3 = 0 có hai nghiệm x=3,x=\frac{1}{3}

LOẠI 4: NHỮNG TRƯỜNG HỢP CÒN LẠI

Với một phương trình có hệ số a\ne 1 mà không phải loại 2, loại 3 thì bạn nên chia cả hai vế cho a, quy về loại 1 để nhẩm. Còn nếu vẫn không nhẩm được thì bạn biết phải làm gì rồi chứ

cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 a+b+c=0
cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 a+b+c=0

3. Một số bài tập thực hành cách nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2

Ví dụ 1. Phương trình

x^2 - 8x + 12 = 0 có hai nghiệm x=2,x=6 vì 12 = 2.6 và 8 = 2 + 6

x^2 - 7x + 12 = 0 có hai nghiệm x=3,x=4 vì 12 = 3.4 và 7 = 3 + 4

x^2 - x - 12 = 0 có hai nghiệm x=-3,x=4 vì -12 = (-3).4 và 1 = (-3) + 4

x^2 + x - 12 = 0 có hai nghiệm x=3,x=-4 vì -12 = 3.(-4) và -1 = 3 + (-4)

x^2 - 4x - 12 = 0 có hai nghiệm x=-2,x=6 vì -12 = (-2).6 và 4 = (-2) + 6

x^2 + 4x - 12 = 0 có hai nghiệm x=2,x=-6 vì -12 = 2.(-6) và -4 = 2 + (-6)

Ví dụ 2. Phương trình

x^2 -(m+4)x+ 3m+3 = 04 có hai nghiệm x=3,x=m+1, vì nó có dạng

x^2 -[(m+1)+3]x+ 3(m+1) = 0

x^2 -(2m+1)x+m^2 + m = 0 có hai nghiệm x=m,x=m+1, vì nó có dạng

x^2 -[m+(m+1)]x+ m(m+1) = 0

x^2 -2mx+m^2-1 = 0 có hai nghiệm x=m-1,x=m+1, vì nó có dạng

x^2 -[(m-1)+(m+1)]x+ (m-1)(m+1) = 0

Ví dụ 3. Phương trình

\sqrt{2}x^2 - (2\sqrt{2}+1)x + 2 = 0 có hai nghiệm x=2,x=\frac{1}{\sqrt{2}}5

READ:  Hãy viết đoạn văn về tình yêu biển đảo (3 mẫu) | L2r.vn

x^2 - (\log{6})x + \log{2}.\log{3} = 0 có hai nghiệm x=\log{2},x=\log{3}6

x^2-(3-2^x )x+2(1-2^x )=0\Leftrightarrow x=2,x=1-2^x7

Khi mới làm quen với tính nhẩm, có thể bạn sẽ gặp một chút khó khăn, nhưng đừng vì thế mà ngại khó và bỏ cuộc. Hãy tưởng tượng thành quả mà tính nhẩm đem lại cho bạn là “không đếm được” so với những “trở ngại đếm được” mà bạn đang phải đối mặt. Ngoài ra, bạn có thể học cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 bằng máy tính, chúc các bạn học Toán thành công.

Tham khảo thêm từ khóa:

cách nhẩm nghiệm phương trình bậc cao
cách nhẩm nghiệm phương trình
cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 chứa tham số
giải phương trình bậc 2 bằng cách nhẩm nghiệm
nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 a+b+c=0
nhẩm nghiệm phương trình bậc 2
cách nhẩm nghiệm của phương trình bậc 3
cách nhẩm nghiệm nhanh phương trình bậc 2
giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm
nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2
cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 nhanh
công thức nhẩm nghiệm phương trình bậc 2
phương pháp nhẩm nghiệm phương trình bậc 2
cách nhẩm nghiệm của phương trình
cách nhẩm nghiệm pt bậc 2
cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 3
cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 5

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Học tập

Bài viết hay nhất